Exo 24 TD 23

Quelques petites remarques :
question 1 : pour montrer que E est un R-ev, il suffit de montrer que c'est un sev du R-ev classique des fonctions de R dans R. (Quand vous écrivez : "soit +, une loi interne", il s'agit de la loi + de ce R-ev classique, sinon il faudrait définir clairement quelque part cette loi sur ExE et vérifier qu'elle est interne... De même pour la loi externe.)
Vous ne définissez pas non plus 0_E : il faudrait dire que c'est la fonction nulle sur R et vérifier qu'elle est dans E.
Vous avez bien vérifié que {cos, sin} est génératrice de E, mais pas qu'elle est libre, il faut le faire pour pouvoir affirmer que c'est une base de E et en déduire dim(E)=2.
question 2 : bien
question 3 : attention, vous voulez dire D¹(R) (et non D¹(E)). 
Vous vérifiez bien la linéarité de la dérivation mais il faut utiliser la question 2, pour en déduire que la restriction D de la dérivation au départ et à l'arrivée à E est un endomorphisme de E.
question 4 : écrire seulement la matrice (pas les vecteurs de la base d'arrivée à droite...)
question 5 : bien. Comme E est de dimension finie et D est un endomorphisme de E, il suffisait de mq D est injective ou surjective.
questions 6 et 7 : bien. Vous pouvez aussi inverser la matrice dans (cos,sin) de D, cela vous donne la matrice dans (cos,sin) de D^{-1}, et on en déduit l'expression de D^{-1} que vous avez donnée.