Indication Exo 2 TD 7 (théorème de Césaro)

1) Il faut montrer que si u tend vers 0 alors la suite des moyennes (M_n) tend aussi vers 0.$
Soit epsilon >0.
Montrons qu'il existe un rang N_0 à partir duquel lM_nl est inférieure à epsilon.
Pour cela, on utilise la définition du fait que u tende vers 0, pour le epsilon qu'on a fixé : il existe donc N_1 un rang à partir duquel lu_nl soit inférieure à epsilon/2.

Pour tout n supérieur à un tel N_1, en utilisant l'inégalité triangulaire, on a alors :

où K est la constante égale à la somme des lu_kl pour k allant de 0 à N_1-1.

On vérifie alors que le premier terme de cette somme tend vers 0, donc est inférieur à epsilon sur deux à partir d'une certain rang N_2, et que le deuxième terme est aussi inférieur à epsilon/2.

On trouve alors un rang N_0 à partir duquel lM_nl soit inférieur à epsilon et on conclut.

2) Si u converge vers une autre limite, on se ramène au premier cas en considérant la suite u-L où L est la limite de u. On montre alors que (M_n) tend aussi vers L.

3) On montre que les résultats sont encore valables quand L vaut + ou - l'infini (recommencer une démo comme au 1)