indications exos 5,6,8,9 10,11,12 (td7)

exo 5 : montrer d'abord, à l'aide du théorème des gendarmes, que u² et v² tendent vers 0. Montrer ensuite que si le carré d'une suite tend vers 0, alors cette suite tend vers 0, en utilisant la définition de la limite. Puis conclure.

exo 6 : c'est du cours.

exo 8 : si u tend vers +infini, vous pouvez montrer que sa partie entière aussi en utilisant le théorème de minoration, de même si u tend vers -infini avec le théorème de majoration.
En revanche si u tend vers un réel a : montrer à partir d'exemples que [u] ne tend pas forcément vers [a].

exo 9 :
1) étudier les fonctions x->cos(x)-1 et x-> cos(x)-1+x²/2 sur R et trouver un intervalle I (de la forme [0,a]) sur lequel elles ont les signes souhaités our avoir l'encadrement voulu.
2) encadrer chaque terme de la somme grâce au 1), puis additionner membre à membre les inégalités , puis diviser par n, pour encadrer la suite u, et finir en utilisant les gendarmes.

exo 10 :
1) Une somme de n termes est toujours plus grande que n fois son plus petit terme, et plus petite que n fois son plus grand terme...
2) étudier une suite, c'est regarder si elle est monotone, majorée, minorée, convergente...

exo 11 :
1) montrer que si la suite vérifie 1 pour le réel k de [0,1[, alors pour tout n dans N, |u_n| est majoré par k^n.|u_0|. Utiliser alors les gendarmes pour conclure.
2) se ramener au 1) à l'aide de la définition de la limite.

exo 12 :
il faut juste montrer que u et v sont adjacentes (ie l'une est croissante, l'autre décroissante et leur différence tend vers 0) dans les deux cas. Puis appliquer le théorème des suites adjacentes. Dans la deuxième question, on peut trouver la limite commune de u et de v en regardant la suite u.v