TD 6, exo 6 (dm)

Dans cet exo, on montre d'abord que f est bijective en résolvant f(z)=y, sur C-{i}, pour y fixé dans C-{1} (comme on l'a déjà fait pour des homographies réelles). Cela prouve que f est bijective et ça permet de calculer sa bijection réciproque du même coup.
Un corrigé de cette partie a déjà été donné par Zohra (cf l'autre post sur cet exo), mais il faudrait le compléter sur la rédaction.

Par la suite il faut calculer :
- l'ensemble f(R). Indication : mq c'est U-{1} (où U est le cercle unité) ;
- l'ensemble f(U-{i}). Indication : utiliser l'astuce classique sur la somme de deux complexes de module 1 et montrer que cet ensemble est iR ;
- l'ensemble f(iR-{i}). Indication : montrer que c'est R-{1}.

Pour chaque égalité d'ensembles du type f(A)=B, on pourra vérifier facilement que f(A) est inclus dans B, puis montrer l'autre inclusion en calculant, pour b dans B, l'antécédent de b en utilisant la bijection réciproque de f, et montrer que cet antécédent est dans A.