cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire

suite à une question, je détaille ici le cas d'égalité dans l'inégalité traingulaire :

soit M(z) et M'(z').
La longueur MM' est alors |z-z'|, et on a OM+OM'=MM' ssi O, M et M' sont alignée et O est entre M et M', ce qui équivaut à :
arg(z) est congru à arg(z') + Pi modulo(2Pi)

Mais du coup, pour u et v deux complexes, le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire entre |u|+|v| et |u+v| s'obtient en prenant u=z et v=-z' dans ce qui précède.

On a donc |u+v|=|u|+|v| ssi arg(u) est congru à arg(-v) +Pi modulo (2Pi).

Or arg(v) est congru à arg(-v) + Pi modulo(2Pi).

Donc |u+v|=|u|+|v| ssi arg(u) est congru à arg(v) modulo (2Pi).